Laplacian of Gaussian(LOG)高斯拉普拉斯算子

LoG算子：是高斯和拉普拉斯的双结合，即集平滑和边沿于一身的算子模型
名字很复杂，原理还好

高斯平滑

图像高斯平滑也是邻域平均的思想对图像进行平滑的一种方法，在图像高斯平滑中，对图像进行平均时，不同位置的像素被赋予了不同的权重。
（具体可以看上篇：图像增强之图像平滑、锐化）

拉普拉斯算子

在图像中，边缘的附近必然存在着灰度值的变化，所以边缘可以看做是位于一阶导数较大的像素处

因此，可以通过求图像灰度值的一阶导数来确定图像的边缘，像sobel算子等一系列的算子都是基于这个思想的：

如上图表示图像边缘时的灰度导数，由于边缘最明显的地方就在于灰度值变化最剧烈，所以也就是导数极值出现的点，也就是对应灰度值二阶导数为0处，如下图：

其实高斯平滑就是仿照高斯分布的均匀分布进行平滑：

（具体可以看上篇：图像增强之图像平滑、锐化）

高斯拉普拉斯算子

由于Laplace算子是通过对图像进行微分操作实现边缘检测的，所以对离散点和噪声比较敏感。

于是，首先对图像进行高斯卷积滤波进行降噪处理，再采用Laplace算子进行边缘检测，就可以提高算子对噪声和离散点的鲁棒性，如此，拉普拉斯高斯算子LoG（Laplace of Gaussian）就诞生了。

因为卷积满足结合律，所以可以先对高斯平滑和拉普拉斯算子进行卷积，之后再将卷积结果和图像进行卷积，这样带来了两个好处：

1.两个Filter都比较小，所以卷积起来运算很少
2.在对图像进行卷积的时候，只进行一次的卷积运算

于是就成了对图像进行Laplacian of Gaussian卷积。

高斯函数

$$G(x,y,\sigma)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}$$

拉普拉斯算子

$$\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2f}{\partial{y^2}}$$

对二维高斯函数应用拉普拉斯算子得

$$\nabla^2G=\frac{\partial^2G}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2G}{\partial{y^2}}= \frac{-2\sigma^2+x^2+y^2}{2\pi\sigma^6}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}$$

LoG（ Laplacian of Gaussian ）算子定义为 ：

$$LoG=\sigma^2\nabla^2G$$

所以最后，在边缘处的LoG相应具有以下特点：

• zero at a long distance from the edge；
• positve just to one side of the edge；
• negative just to the other side of the edge；
• zero at some point in between, on the edge itself

参考：

https://bLoG.csdn.net/touch_dream/article/details/62237018 LoG高斯-拉普拉斯算子

https://bLoG.csdn.net/qq_25638133/article/details/83276318 Laplacian of Gaussian (LoG) 高斯拉普拉斯算子

https://bLoG.csdn.net/u014485485/article/details/78364573 图像边缘检测——二阶微分算子（上）Laplace算子、LoG算子、DOG算子（Matlab实现）