交叉熵（Cross-Entropy）是机器学习中一种常用的损失函数，是用来评估当前预测状态与正确状态之间的差异，之前做毕设时，在推导决策树的过程中，了解了部分关于信息熵（Infomation Entropy）的知识，与交叉熵有一些地方相同，却也有不同，特此学习了进行总结。
二者其实都属于信息论的知识范畴，关于交叉熵的推导过程主要为：熵(Entropy) -> KL散度(Kullback-Leibler Divergence) -> 交叉熵
信息量
首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为χ，概率分布函数p(x)=Pr(X=x)，x∈χ，p(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0的信息量为：
I(x0)=−log(p(x0))
由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1]
熵
考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量
| 序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
|---|---|---|---|
| A | 电脑正常开机 | 0.7 | -log(p(A))=0.36 |
| B | 电脑无法开机 | 0.2 | -log(p(B))=1.61 |
| C | 电脑爆炸了 | 0.1 | -log(p(C))=2.30 |
注：文中的对数均为自然对数
我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
H(X)=−∑p(xi)log(p(xi))
其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是
相对熵（KL散度）
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异
维基百科对相对熵的定义
In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。
在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。
KL散度的计算公式：
交叉熵
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
H(p,q)=−∑p(xi)log(q(xi))
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y||y^)，由于KL散度中的前一部分−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。